Prozent berechnen: Formeln und Rechenbeispiele einfach erklärt
Um Prozent zu berechnen, teilen Sie den Teil durch das Ganze und multiplizieren mit 100: Prozentsatz = Teil ÷ Ganzes × 100. Haben Sie 45 von 60 Fragen richtig beantwortet, ergibt 45 ÷ 60 = 0,75, und 0,75 × 100 = 75 %. Jede andere Prozentaufgabe, von der prozentualen Veränderung bis zur umgekehrten Prozentrechnung, ist nur diese Formel in umgestellter Form.
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Dieser Leitfaden zeigt, wie Sie Prozente in jeder Alltagssituation berechnen: den Prozentwert einer Zahl, den Anteil einer Zahl an einer anderen, den Grundwert, die prozentuale Steigerung und Senkung, die prozentuale Differenz und die umgekehrte Prozentrechnung. Wenn Sie nur das Ergebnis brauchen, zeigt der kostenlose Prozentrechner es zusammen mit der Formel und Ihren eingesetzten Zahlen an.
Prozent berechnen: die Grundformel
„Prozent“ heißt „von hundert“, 75 % sind also 75 Hundertstel oder 0,75. In jeder Prozentaufgabe stecken drei Größen:
- der Grundwert: das Ganze oder der Ausgangswert;
- der Prozentwert: der Teil, um den es geht;
- der Prozentsatz: wie groß der Teil ist, gemessen in Hundertsteln des Ganzen.
Kennen Sie zwei davon, können Sie die dritte berechnen. So sieht die Prozentformel in ihren drei Formen aus:
| Gesucht | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Prozentsatz | Teil ÷ Ganzes × 100 | 45 ÷ 60 × 100 = 75 % |
| Prozentwert (Teil) | Ganzes × Prozentsatz ÷ 100 | 60 × 75 ÷ 100 = 45 |
| Grundwert (Ganzes) | Teil ÷ Prozentsatz × 100 | 45 ÷ 75 × 100 = 60 |
Prozentwert einer Zahl berechnen
Um X % von Y zu berechnen, wandeln Sie den Prozentsatz in eine Dezimalzahl um (durch 100 teilen) und multiplizieren: X % von Y = X ÷ 100 × Y.
- 15 % von 80 = 0,15 × 80 = 12
- 7,5 % von 240 = 0,075 × 240 = 18
- 120 % von 50 = 1,2 × 50 = 60
Das letzte Beispiel zeigt, dass ein Prozentsatz über 100 % liegen kann. Das bedeutet einfach, dass der Teil größer ist als das Ganze, mit dem Sie ihn vergleichen.
Wie viel Prozent ist X von Y?
Das meinen die meisten, wenn sie fragen, wie man einen Prozentsatz ausrechnet. Teilen Sie den Teil durch das Ganze und multiplizieren Sie mit 100.
- 18 von 24: 18 ÷ 24 = 0,75, also 75 %
- 7 von 8: 7 ÷ 8 = 0,875, also 87,5 %
- 2 Trinkgeld auf eine Rechnung über $64: 12 ÷ 64 = 0,1875, also 18,75 %
Die Zahl nach „von“ ist fast immer das Ganze und gehört deshalb in den Nenner des Bruchs.
Den Grundwert aus einem Teil berechnen
Manchmal kennen Sie einen Teil und seinen Prozentsatz, aber nicht die Gesamtmenge. Dann teilen Sie den Teil durch den Prozentsatz als Dezimalzahl: Ganzes = Teil ÷ (Prozentsatz ÷ 100).
- 12 sind 15 % von welcher Zahl? 12 ÷ 0,15 = 80. Probe: 15 % von 80 sind 12.
- 27 Personen, also 45 % der Befragten, haben mit Ja geantwortet. An der Umfrage nahmen 27 ÷ 0,45 = 60 Personen teil.
Prozentuale Steigerung und Senkung berechnen
Die Formel für die prozentuale Veränderung vergleicht einen neuen Wert mit einem alten:
prozentuale Veränderung = (neu − alt) ÷ alt × 100
Ein positives Ergebnis ist eine Steigerung, ein negatives eine Senkung. Der alte Wert ist immer die Basis, durch die Sie teilen.
Prozentuale Steigerung. Ein Abo steigt von $80 auf $92 im Monat. Die Veränderung beträgt 92 − 80 = 12, und 12 ÷ 80 = 0,15, der Preis ist also um 15 % gestiegen.
Prozentuale Senkung. Die täglichen Besuche einer Website fallen von 250 auf 210. Die Veränderung beträgt 210 − 250 = −40, und −40 ÷ 250 = −0,16, also ein Rückgang um 16 %.
Wollen Sie eine Veränderung anwenden statt sie zu messen, multiplizieren Sie mit 1 plus oder minus dem Prozentsatz als Dezimalzahl:
- 200 um 15 % erhöht = 200 × 1,15 = 230
- 200 um 15 % verringert = 200 × 0,85 = 170
Ist der alte Wert 0, ist die prozentuale Veränderung nicht definiert, weil man nicht durch null teilen kann. Von 0 auf 10 Besucher ist ein Plus von 10, aber kein Prozentsatz von irgendetwas.
Prozentuale Differenz und prozentuale Veränderung
Die prozentuale Veränderung hat eine Richtung: Ein Wert ist eindeutig der Ausgangspunkt. Manchmal ist aber keine der beiden Zahlen die Referenz, etwa bei zwei Angeboten verschiedener Lieferanten oder zwei Messungen desselben Gegenstands. Dann brauchen Sie die prozentuale Differenz, die den Abstand mit dem Mittelwert beider Werte vergleicht:
prozentuale Differenz = |a − b| ÷ ((a + b) ÷ 2) × 100
Die senkrechten Striche bedeuten „Betrag“: Der Abstand wird als positive Zahl genommen. Für 40 und 60 ist der Abstand 20, der Mittelwert 50, und 20 ÷ 50 × 100 = 40 %. Vertauschen Sie die Zahlen, bleibt das Ergebnis 40 %.
Dasselbe Zahlenpaar mit beiden Formeln:
| Rechnung | Geteilt durch | Ergebnis |
|---|---|---|
| Prozentuale Veränderung, 40 → 60 | 40 | +50 % |
| Prozentuale Veränderung, 60 → 40 | 60 | −33,33 % |
| Prozentuale Differenz, 40 und 60 | 50 (Mittelwert) | 40 % |
Nehmen Sie die prozentuale Veränderung, wenn es ein klares Vorher und Nachher gibt. Nehmen Sie die prozentuale Differenz, wenn Sie zwei gleichrangige Werte nebeneinander vergleichen.
Umgekehrte Prozentrechnung: den ursprünglichen Preis finden
Bei der umgekehrten Prozentrechnung kennen Sie den Wert nach einer prozentualen Veränderung und suchen den Wert davor. Der typische Fehler: den Prozentsatz vom neuen Wert zu nehmen und damit die falsche Basis zu verwenden.
Nach einer Erhöhung. Eine Jacke kostet 50 inklusive 20 % Steuer. Die 50 sind 120 % des Nettopreises, der ursprüngliche Preis ist also 150 ÷ 1,20 = 25. Probe: 25 plus 20 % ergibt 50. Wer 20 % von 50 abzieht, kommt auf 20, und das ist falsch.
Nach einem Rabatt. Sie haben nach 25 % Rabatt $66 bezahlt. Das sind 75 % des ursprünglichen Preises, der also 66 ÷ 0,75 = $88 betrug. Probe: 25 % von $88 sind